Begay est né à Tuba City, en Arizona, le 11 janvier 1954. Il a grandi dans la réserve Navajo, où il a appris la culture traditionnelle Navajo auprès de ses parents et grands-parents. Begay a commencé à dessiner et à peindre dès son plus jeune âge et il s'est vite rendu compte qu'il avait un talent pour l'art.
Après avoir obtenu son diplôme d'études secondaires, Begay a étudié l'art à l'Institute of American Indian Arts de Santa Fe, au Nouveau-Mexique. Il a ensuite fréquenté l'Université de l'Arizona, où il a obtenu un baccalauréat en beaux-arts.
Les peintures de Begay représentent une variété de sujets, notamment les cérémonies Navajo, les rituels et la vie quotidienne. Son travail se caractérise par ses couleurs vibrantes, ses motifs complexes et son fort sens de la spiritualité. Les peintures de Begay ont été louées pour leur beauté, leur signification culturelle et leur capacité à capturer l'essence de la vie Navajo.
Le travail de Begay a été exposé dans des musées et des galeries du monde entier, notamment à la Smithsonian Institution, au Heard Museum et au Museum of Modern Art. Il a également reçu de nombreux prix, notamment la bourse National Endowment for the Arts, l'Arizona Governor's Arts Award et les Native American Art Awards.
Le travail de Begay continue d'inspirer et d'éduquer les téléspectateurs sur la culture Navajo. Il est considéré comme l’un des artistes amérindiens les plus importants de sa génération.
Begay est décédé d'un cancer le 17 août 2012 à Tuba City, en Arizona. Il avait 58 ans.