Poche a été repêché par les Angels au deuxième tour du repêchage de 1986. Il a fait ses débuts dans les ligues majeures avec les Angels en 1989 et a passé la plupart des trois saisons suivantes avec l'équipe. En 1992, il est transféré aux Reds, où il passe les quatre saisons suivantes. Il a terminé sa carrière dans les ligues majeures avec les Padres en 1996.
Dans l'ensemble, Poche a affiché une fiche de 53 à 52 avec une MPM de 4,26 en 157 matchs en carrière. Il a retiré 535 frappeurs sur des prises en 923 manches lancées.
Après avoir pris sa retraite du baseball, Poche est devenu entraîneur de lanceurs. Il a travaillé dans les systèmes de ligues mineures des Angels, des Reds et des Mariners de Seattle. Il est actuellement l'entraîneur des lanceurs des Louisville Bats, la filiale Triple-A des Reds de Cincinnati.