La corde la plus longue est plus éloignée du centre du cercle que la corde la plus courte.
Cela peut être prouvé à l’aide du théorème suivant :
Théorème : Si deux cordes d’un cercle sont congruentes, alors la corde la plus longue est plus éloignée du centre du cercle que la corde la plus courte.
Preuve :
Soit $AB$ et $CD$ deux cordes congruentes d'un cercle de centre $O$.
Puisque $AB$ et $CD$ sont congrus, alors $|AB| =|CD|$.
Soit $d_1$ la distance de $O$ à $AB$ et $d_2$ la distance de $O$ à $CD$.
Puisque $O$ est le centre du cercle, alors $d_1 =d_2$.
Maintenant, soit $E$ le point médian de $AB$ et $F$ le point médian de $CD$.
Puisque $E$ est le point médian de $AB$, alors $|AE| =|EB| =\frac{1}{2}|AB|$.
Puisque $F$ est le point médian de $CD$, alors $|CF| =|FD| =\frac{1}{2}|CD|$.
Puisque $|AB| =|CD|$ et $E$ et $F$ sont respectivement les points médians de $AB$ et $CD$, alors $|AE| =|EB| =|CF| =|FD|$.
Depuis $|AE| =|CF|$ et $d_1 =d_2$, puis $|AO| =|OC|$.
Par conséquent, $O$ est à égale distance de $AB$ et $CD$.
Puisque $O$ est à égale distance de $AB$ et $CD$, alors la corde la plus longue $CD$ est plus éloignée du centre du cercle que la corde la plus courte $AB$.