Palmer est né à Cedar Falls, Iowa, et est diplômé de l'Université de l'Illinois en 1919 avec un diplôme en architecture. Il a déménagé à Oak Park, dans l'Illinois, en 1921 et s'est impliqué dans le mouvement scolaire des Prairies. Il travailla brièvement pour Frank Lloyd Wright avant d'ouvrir son propre cabinet en 1922.
Les créations de Palmer ont été influencées par Wright, mais il a également développé son propre style. Il était connu pour son utilisation de formes simples, de matériaux naturels et de plans d'étage ouverts. Il a également fréquemment incorporé des éléments de la nature dans ses créations, tels que des jardins, des terrasses et des piscines.
Palmer a conçu plus de 1 000 maisons et autres bâtiments au cours de sa carrière. Beaucoup de ses œuvres sont situées dans la région de Chicago, mais il a également conçu des projets dans d'autres régions des États-Unis et du Canada. Certaines de ses œuvres les plus remarquables incluent la Palmer House (1927), la Winnetka Community House (1928) et le Chicago Botanic Garden (1940).
Palmer a également été professeur d'architecture à l'Illinois Institute of Technology de 1945 à 1968. Il a été membre de l'American Institute of Architects et a reçu de nombreux prix pour son travail, dont la médaille d'or de l'AIA en 1967.
Palmer est décédé à Oak Park, dans l'Illinois, en 1978. Son héritage se poursuit à travers son œuvre, considérée comme l'un des meilleurs exemples d'architecture scolaire des Prairies.